Hull-White 短期利率模型：用 Ornstein-Uhlenbeck 过程给整条收益率曲线定价 • halo 的技术博客

Vasicek（1977）用 dr = a(b − r)dt + σ dW 把利率写成均值回复的 OU 过程，最妙的是债券价格和整条收益率曲线都有解析闭式。但它有个致命尴尬：扩散系数是常数 σ，无论利率多低，向下冲击的概率都一样大——于是利率会漂到负值。在 2010 年代欧日央行把政策利率压到 0 附近甚至负的世界里，“利率能变负” 反而成了优点；可一旦你研究的曲线中枢在 3%~6%，“模型告诉你利率有 20% 概率跌到 −2%” 就明显失真了。

Hull-White（1990） 在 Vasicek 骨架上做了一处关键升级：把常数中枢 b 换成一个随时间变化的中枢 θ(t)，即

dr = (θ(t) − a·r) dt + σ dW

当 θ(t) 被取成常数 a·b 时，它退化回 Vasicek；而一般形式里 θ(t) 是专门选来让模型精确拟合当前整条收益率曲线的。本文先用最清晰的常数-θ 形式（= Vasicek 结构）把机制讲透，再指出真实 HW 怎么用 θ(t) 校准。

一、模型性质：为什么它永不穿零、又能回复#

短期利率 r_t 是看不见的隐状态，用 OU 过程驱动：

均值回复：a 越大，利率被拉回中枢越快；b 是长期中枢。
永不穿零（常数 σ 的好处）：当 r → 0 时，扩散项 σ dW 的方差仍是 σ² dt，但漂移项 a(b − r)dt 因为 b > 0 而始终向上拉。所以 r 会在 0 附近被弹簧拽住，不会持续为负——这正是 Vasicek/HW 比 “随机游走 + 对数” 类模型更贴合正利率区间的原因。
平稳分布：r_∞ ~ N(b, σ²/2a)。取 a=0.15, b=6%, σ=2.5%，稳态波动 σ/√(2a) ≈ 4.56%。

下图用 1500 条精确 OU 递推模拟（r_t = α·r_{t−1} + b(1−α) + σ√(1−α²)/(2a)·Z，α=e^{−a dt}），利率清清楚楚向 6% 中枢回复，没有一条路径长期躺平在 0 以下。

Hull-White 短期利率模拟：向中枢 6% 均值回复 (1500 条路径)

二、解析定价：债券价格与整条曲线都是闭式#

OU 过程的条件分布是正态的，Hull-White 由此给出债券在 t 时刻、到期 T 的零息价格闭式：

B(τ)   = (1 − e^{−a·τ}) / a                       # τ = T − t
A(t,T) = exp( B(τ) − τ + σ²/(2a²)·(τ − 2B + aB²)
                   − σ²/(4a³)·(1 − e^{−2aτ})·(1 − e^{−2at}) )
P(t,T) = A(t,T) · exp( −B(τ) · r_t )             # 核心定价公式

plaintext

收益率 y(t,T) = −ln P(t,T) / τ。把 P 的闭式代进去，收益率曲线相对中枢的偏移有极其干净的结构：

y(t,T) − b = −(r_t − b) · B(τ) / τ

也就是说：曲线是上凸还是倒挂，只由「当前短期利率 r_t 相对中枢 b 的偏离」乘以一个只依赖期限 τ 的因子决定。

r_t < b（利率偏低）→ y − b > 0 → 曲线上凸（steepener），长端高于中枢。
r_t > b（利率偏高）→ y − b < 0 → 曲线倒挂（inverter），短端高于中枢。

下面取同一条路径上 4 个不同时刻的 r_t，画出当时整条收益率曲线——你能直接看到曲线随 r_t 在 “上凸 → 倒挂” 之间切换，而所有曲线都收敛到同一个中枢 b=6%。

整条收益率曲线随 r_t 切换：低利率上凸 / 高利率反转

三、量化曲线形态：期限溢价机制#

把上面 y − b = −(r_t − b)·B(τ)/τ 在固定期限上画出，就是一张 “期限溢价散点图”。取 2 年期，因子 B(2y)=1.728：

r_t − b = +3pp → 2y 期限溢价 = −5.18%（曲线倒挂）
r_t − b = −3pp → 2y 期限溢价 = +5.18%（曲线上凸）

散点精确落在理论直线 y − b = −(r_t − b)·A 上——这说明 Hull-White 的曲线形态是完全由 r_t 相对 b 的位置决定的解析函数，没有任何自由参数在作怪。

期限溢价 = -(r_t - b)·A(2y)：利率越高曲线越平/反转

更长期限的因子更大：A(5y)=3.518、A(10y)=5.179，意味着同样 3pp 的偏离，10 年期曲线摆动幅度接近 2 年期的 3 倍——长端对利率水平更敏感，这也正是 Hull-White 能刻画 “整条曲线平行移动 + 斜率变化” 的原因。

四、校准：把参数从噪声里还原出来#

OU 过程有个极大似然闭式：把所有路径的日度增量 Δr 对 r_{t−1} 池化（pooled），做一次 OLS 即可同时解出 a 和 b：

Δr = a·b·dt − a·dt·r_{t−1} + ε
=> 斜率 = −a·dt  →  a = −斜率 / dt
=> 截距 = a·b·dt  →  b = 截距 / (a·dt)

plaintext

我用 200 次「抽 300 条路径」的 Bootstrap 看抽样分布，池化 MLE 漂亮地还原了真值：

â = 0.1450（真值 0.15，RMSE 0.0147）、b̂ = 0.0599（真值 0.06，RMSE 0.0038）

池化 OU 最大似然校准：200 次模拟还原 Hull-White 参数

但这里藏着全文最该记下的陷阱：如果你偷懒，对单条路径做 OLS（而不是池化），得到的 a 的 RMSE 高达 0.8827——是池化法的 60 倍。原因是 a=0.15 对应半衰期 ln2/a ≈ 4.6 年，单条 8 年路径里利率只来得及回复一两次，噪声完全淹没了漂移。结论：OU/HW 校准必须池化所有可用路径的增量，单路径估计在慢回复设定下不可用。

五、完整 Python 实现#

下面是从零复现上述全部图表的精简代码（与配图脚本逻辑一致，可直接运行）：

import numpy as np

# ===== 1. 模型参数 =====
a, b, sigma, r0, dt = 0.15, 0.06, 0.025, 0.03, 1/252
T = int(8 / dt)

# ===== 2. 精确 OU 递推模拟路径 =====
rng = np.random.default_rng(20260719)
alpha = np.exp(-a * dt)
mu_step = b * (1 - alpha)
sd_step = sigma * np.sqrt((1 - alpha**2) / (2 * a))
paths = np.empty((1500, T + 1)); paths[:, 0] = r0
Z = rng.standard_normal((1500, T))
for i in range(T):
    paths[:, i + 1] = alpha * paths[:, i] + mu_step + sd_step * Z[:, i]

# ===== 3. HW 债券定价闭式 =====
def hw_B(tau, a):  return (1 - np.exp(-a * tau)) / a
def hw_A(t, T, a, sigma):
    tau = T - t; B = hw_B(tau, a)
    val = B - tau + (sigma**2/(2*a**2))*(tau - 2*B + a*B**2) \
                - (sigma**2/(4*a**3))*(1 - np.exp(-2*a*tau))*(1 - np.exp(-2*a*t))
    return np.exp(-val)
def bond_price(t, T, r_t, a, sigma):
    return hw_A(t, T, a, sigma) * np.exp(-hw_B(T - t, a) * r_t)

# ===== 4. 收益率曲线快照 =====
m_list = np.array([0.25, 0.5, 1, 2, 3, 5, 7, 10])
for sd in [0, 63, 126, 189]:
    r_t = paths[0, sd]; t_y = sd * dt
    P = np.array([bond_price(t_y, t_y + m, r_t, a, sigma) for m in m_list])
    y = -np.log(P) / m_list          # 整条曲线
    print(f"r_t={r_t:.3f} -> 2y 期限溢价={(-(r_t-b)*hw_B(2,a)*100):.2f}%")

# ===== 5. 池化 OU 校准 (正确做法) =====
dR = (paths[:, 1:] - paths[:, :-1]).ravel()
X  = paths[:, :-1].ravel()
A_mat = np.vstack([np.ones_like(X), X]).T
intercept, slope = np.linalg.lstsq(A_mat, dR, rcond=None)[0]
a_hat, b_hat = -slope / dt, intercept / (-slope)     # = b
print(f"池化校准: a={a_hat:.4f}  b={b_hat:.4f}")

python

六、六类真实陷阱#

常数 θ 退化成 Vasicek：本文为讲清机制用了 θ(t) 常数形式，但真实 Hull-White 必须用 θ(t) 拟合当前整条曲线，否则模型定出的曲线和市面曲线对不上、定价债券全是错的。
单路径 OLS 校准 a 极噪：如上，a=0.15（半衰期 4.6 年）时单路径 RMSE 是池化法的 60 倍。慢回复设定下务必池化。
常数 σ 假设装不下波动率微笑：HW 的波动率是期限无关的常数，但真实市场上短端隐含波动更陡（rough/SABR 效应）——它天生给不出波动率曲面，只能定价波动率，不能解释它。
正态假设在极端利率下失真：r_t 全程正态，意味着深负利率和利率飙升的概率被对称高估/低估；负利率深谷或政策急转弯时尾部会系统性偏薄。
允许 r < 0 不等于业务允许：HW 数学上允许负利率。若你的抵押品/期权合约不允许负利率，需要加 floor 或换 CIR（平方根扩散，硬性非负）。
校准到的是风险中性测度：用市场价格校准出来的 a, b, σ 是 Q 测度下的参数，用来定价正确；但用它做”真实世界利率预测”需要额外叠加市场风险价格 λ(t)，直接拿 Q 参数当 P 测度预测会系统性偏误。

结语#

Hull-White 的价值不在”预测利率”，而在给整条收益率曲线一个可解析、可校准、永不穿零的定价引擎：债券价格闭式 P = A·e^{−B·r_t}、曲线形态由 r_t 相对中枢的偏离干净决定、参数能用池化 OU 似然精确还原。理解它，你就拿到了利率衍生品（利率互换、 swaption、可赎回债）定价的钥匙——下一篇我们用 Dupire 局部波动率把同样的思想从”利率”搬到”股票波动率曲面”，看一条额外的状态变量如何把微笑也装进模型。