评级迁移矩阵建模：信用组合的多期损失分布 • halo 的技术博客

信用组合的风险，不能只看”现在违约率多少”。一只 AAA 债今天几乎不会违约，但它五年后落在 CCC 或 D 的概率并不低；一只 BBB 债明年有 6.5% 的概率滑到 BB 及以下、变成高收益。评级是会”迁移”的，而迁移的累积效应，决定了你持有信用组合三年、五年后的真实损失分布。

结论先放这：用一张年度转移矩阵 + 蒙特卡洛模拟，可以把信用组合的 1/3/5 年损失分布完整算出来。在我们的偏投资级组合（A 30% / BBB 35% / BB 10% / B 5%）下，5 年期望损失约 5.86%、99% VaR 约 7.47%、99% ES 约 7.73%、累计违约率约 3.99%。反直觉的是，组合层面的多期损失近似线性（因分散化平滑），而真正的非线性藏在累计违约率里——它随期限超线性上升，因为边际违约率逐年走高。附完整 Python 与四张真实计算图（高阶）。

一、评级迁移矩阵：信用世界的”状态转移”#

评级迁移矩阵（Transition Matrix）描述”今年评级为 X 的债券，明年评级变成 Y 的概率”。它是一个行随机矩阵：每行和为 1。状态通常取 {AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, D}，其中 D（违约）是吸收态——一旦违约，就永远停在 D，不再迁移。

我们用一组合成的年度转移概率（百分比）作为例子：

import numpy as np

states = ["AAA", "AA", "A", "BBB", "BB", "B", "CCC", "D"]
raw = np.array([
    [89.0, 8.5, 1.4, 0.6, 0.3, 0.2, 0.0, 0.0],   # AAA
    [2.0, 89.0, 7.5, 0.9, 0.3, 0.2, 0.0, 0.1],   # AA
    [0.3, 3.5, 88.0, 6.5, 1.0, 0.5, 0.1, 0.1],   # A
    [0.1, 0.6, 4.5, 86.0, 6.5, 1.8, 0.3, 0.2],   # BBB
    [0.1, 0.3, 1.0, 6.0, 80.0, 9.5, 1.5, 1.6],   # BB
    [0.1, 0.2, 0.6, 1.2, 5.5, 81.0, 7.5, 3.9],   # B
    [0.2, 0.3, 0.6, 1.5, 3.0, 12.0, 56.0, 26.4], # CCC
    [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 100.0],  # D (吸收态)
], dtype=float)
P = raw / raw.sum(axis=1, keepdims=True)   # 行归一化到和为 1

python

矩阵里三个结构一眼可见：对角线最厚（多数债券评级不变）、越往下迁移幅度越大（CCC 一年内有 26.4% 直接违约）、D 行全是 100%（吸收态）。这张图就是我们后续所有计算的”引擎”。

二、组合评级分布随时间的漂移#

把初始组合权重 $w_0$ 左乘转移矩阵的幂 $P^T$ ，就能得到 T 年后的确定性评级分布：

w_T = w_0 \cdot P^T

下图用这个确定性演化，展示我们偏投资级组合在 5 年内如何逐步向低评级”渗漏”——注意 BBB 那一档的占比先升后降：它既接收从 A 滑下来的，也把持仓漏给 BB/B，是迁移流的”中转站”。

init_mix = np.array([0.05, 0.15, 0.30, 0.35, 0.10, 0.05, 0.0, 0.0])
det = init_mix.copy()
for y in range(1, 6):
    det = det @ P        # 每年推进一次
    print(f"{y}年: ", np.round(det, 4))

python

这个确定性视角回答的是”平均而言组合会变成什么样”。但它看不到不确定性——有些路径 BBB 集体滑向 B，有些路径平稳得多。要算损失分布，必须上蒙特卡洛。

三、蒙特卡洛模拟多期损失分布#

对每个 obligor 独立地按转移矩阵逐年抽样（向量化实现），跑 5000 条路径、每条 1000 个 obligor，等权组合，最终把”评级变了”和”违约了”都折算成损失：

迁移的盯市损益（MTM）：评级下降→点差走阔→债券净价下跌。损失 = 久期 × (期末点差 − 期初点差) / 10000。
违约损失：落入 D 的 obligor 直接损失 LGD（违约损失率，本文取 60%）。

P_cum = np.cumsum(P, axis=1)

def step_states(cur):
    out = np.empty_like(cur)
    for k in range(len(states)):
        idx = np.where(cur == k)[0]
        if idx.size == 0:
            continue
        u = rng.random(idx.size)
        out[idx] = np.clip(np.searchsorted(P_cum[k], u, side="right"), 0, n - 1)
    return out

def simulate(n_paths, n_obligors, horizon):
    init = rng.choice(n, size=(n_paths, n_obligors), p=init_mix).ravel()
    s = init.copy()
    for _ in range(horizon):
        s = step_states(s)
    sp_init = spread[init].reshape(n_paths, n_obligors)
    sp_final = spread[s].reshape(n_paths, n_obligors)
    mtm = duration * (sp_final - sp_init) / 10000.0
    defaulted = (s == D).reshape(n_paths, n_obligors).astype(float) * LGD
    return (mtm + defaulted).mean(axis=1) * 100.0   # 等权组合损失%

python

跑完 1/3/5 年，我们得到每条路径的组合损失（% 面值），再取分位数。核心结果（种子 20260827）：

期限	期望损失 EL	95% VaR	99% VaR	99% ES	累计违约率
1 年	0.93%	1.35%	1.55%	1.68%	0.47%
3 年	3.23%	4.06%	4.43%	4.60%	2.00%
5 年	5.86%	6.99%	7.47%	7.73%	3.99%

四、反直觉：组合层近似线性，非线性藏在违约率里#

直觉上，“持有 5 年的风险应该是持有 1 年的 5 倍”。我们的数据拆穿了这层想当然，而且拆出两个方向相反的效应：

效应一（组合层略低于线性）： 99% VaR 从 1 年 1.55% 到 5 年 7.47%。如果严格线性，5 年该是 7.73%。差的那 0.26% 来自分散化——1000 个独立 obligor 的极端尾部被平均掉了，组合损失不会像单名那样剧烈。这是信用组合相对股票组合最大的福利：分散化真的有用，因为违约是低频、相对独立的事件。

效应二（累计违约率超线性，这才是真凸性）： 累计违约率从 1 年 0.47% 到 3 年 2.00% 到 5 年 3.99%。如果按 1 年线性外推，5 年只该 2.35%，真实却达 3.99%——高出近一倍。原因不是统计巧合，而是数学结构：边际违约率逐年上升。第 1 年只有最差的 CCC 会违约；第 3、5 年，那些逐年从 A→BBB→BB→B 滑下来的债券也加入了违约行列，违约”漏斗”越往后越宽。

一个自洽性检验：模拟得到的 5 年组合累计违约率 3.99%，与用初始权重对”各单名 5 年→D 概率”做加权平均（3.98%）几乎完全一致——说明我们的蒙特卡洛与矩阵解析口径对齐，引擎没 bug。值得注意的单名对比：BBB 单名 5 年→D 概率是 3.17%，而含 BB/B 倾斜的组合整体违约率 3.99% 反而更高——因为组合里那一小块 BB/B 的边际违约率远高于 BBB，拉高了整体。

五、为什么”组合层线性、违约率超线性”重要#

这个看似技术性的结论，直接改写了风险管理的话术：

用 1 年 VaR 简单乘期限数来估算多年资本占用，会系统性高估组合层风险（因为忽略了分散化），但会系统性低估违约暴露（因为忽略了边际违约率上升）。
监管资本通常按 1 年 horizon 算，但你持有信用组合可能是 3–5 年。真正的”长持风险”不在损失金额的线性放大，而在违约率的复利式累积——这恰恰是很多信用产品（如 CLO、信用债基金）在危机里”前几年没事、第五年突然集体出事”的数学根源。
对择时与久期管理的启示：迁移风险主要在中段期限（2–4 年）累积最快。1 年太短、违约漏斗还没打开；5 年以上则主要风险已是”已知会违约的那批”，反而可被定价。

六、模型边界：本文没做的与必须补的#

诚实的边界比漂亮的曲线更重要：

独立性假设：本文每个 obligor 独立抽样。真实信用组合有系统性因子（宏观、行业），危机会让评级同时下调，相关性在尾部飙升。正确做法是在转移矩阵上叠加系统因子（如信用周期状态），或用 copula 把单名迁移耦合起来。
点差-违约的联合动态：本文把点差变动和违约当成独立两笔账。危机里点差走阔和违约是同一件事的两面，应联合建模。
回收率的不确定性：本文 LGD 固定 60%。真实回收率高度分散且危机期骤降，应作为分布而非常数。
矩阵本身的估计误差：真实转移矩阵来自有限历史样本，尤其 CCC→D 这种低频格子的估计极不稳定。落地时务必对矩阵做置信区间，而不是把点估计当真理。

七、小结与可复现#

本文用一张 8 状态年度转移矩阵，把一只偏投资级信用组合的 1/3/5 年损失分布完整算了出来，并揭示了一个反直觉、但数学上必然的结构：组合层面的多期损失近似线性（分散化在起作用），而累计违约率随期限超线性上升（边际违约率逐年走高）——真正的非线性风险藏在违约率里，不在损失金额里。关键数字（种子 20260827）：

5 年期望损失 5.86%、99% VaR 7.47%、99% ES 7.73%、累计违约率 3.99%
1 年线性外推 5 年 VaR 应为 7.73%，真实 7.47%（分散化平滑 −0.26pp）
1 年线性外推 5 年违约率应为 2.35%，真实 3.99%（超线性 +1.64pp）
自洽性：模拟违约率 3.99% vs 加权单名 3.98%（引擎对齐）

一句话收尾：评级迁移矩阵给了我们一张”信用会怎么变老”的地图，而多期损失分布的真正形状，取决于你有没有把”违约是吸收态、且越往后越容易掉进去”这件事算进去。完整代码与四张图均来自本文脚本，欢迎改矩阵、改组合、改期限复现。

本文图表均由 Python（numpy + matplotlib）实时计算生成，非占位图。模型为教学用合成矩阵，参数可改；真实落地请用实际历史估计的转移矩阵、行业/系统性耦合与回收率分布替换文中的受控假设。