Yang-Zhang 波动率估计量：同时免疫跳空与漂移的波动测量

问题：Garman-Klass 和 Parkinson 都漏掉了隔夜#

前两篇我们验证了 Parkinson（用高低价，效率 5.3x）和 Garman-Klass（用满 OHLC，效率 8.4x）。它们都很高效，但共享一个致命盲区：隔夜跳空完全不可见。

原因很简单：这两个估计量都只看日内结构（当天的 O、H、L、C 之间的关系）。而隔夜跳空——前一天收盘到第二天开盘之间的价格变动——发生在两根日 K 线之间，不进入任何一根 K 线的内部。GK 上一篇的模拟已经量化过：当隔夜波动等于日内波动时，GK 对总波动率低估 55.8%。

对 A 股、港股这类隔夜效应显著的市场，这不是小问题。一只股票很可能白天平静、隔夜因为海外消息剧烈跳空——如果你用 GK 估波动率去做隔夜持仓的风险管理，会系统性低估过半的风险。

2000 年，Dennis Yang 和 Qiang Zhang 在 Drift-Independent Volatility Estimation Based on High, Low, Open, and Close Prices 里给出了完整解法。Yang-Zhang 估计量同时做到了三件事：

1. 把隔夜波动算进去（GK/Parkinson 做不到）
2. 对漂移免疫（GK 做不到，只有 Rogers-Satchell 做到了）
3. 保持高效率（接近 GK 的水平）

它的结构是三块方差的加权和：

$\hat\sigma^2_{YZ} = \sigma^2_{\text{overnight}} + k\cdot\sigma^2_{\text{open-close}} + (1-k)\cdot\sigma^2_{RS}$

本文用固定随机种子（20260801）的受控模拟，回答三个问题：YZ 真的能还原被 GK 漏掉的隔夜波动吗？它的抗漂移能力是真的吗？以及——这些好处的代价是什么？

理论：三块方差如何拼成总波动#

Yang-Zhang 的核心洞见是把”一天的总波动”拆成三段互不重叠的信息：

第一块：隔夜方差 $\sigma^2_{\text{overnight}}$

$\sigma^2_{o} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(o_i - \bar{o}\right)^2,\quad o_i = \ln\frac{O_i}{C_{i-1}}$

这是前收到次开的对数收益（隔夜跳空）的样本方差。这一项正是 GK 和 Parkinson 完全没有的——它直接测量了两根 K 线之间的跳空。

第二块：开收方差 $\sigma^2_{\text{open-close}}$

$\sigma^2_{c} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(c_i - \bar{c}\right)^2,\quad c_i = \ln\frac{C_i}{O_i}$

这是当天开盘到收盘的对数收益的样本方差——白天的净位移波动。

第三块：Rogers-Satchell 方差 $\sigma^2_{RS}$

$\sigma^2_{RS} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[\ln\frac{H_i}{C_i}\ln\frac{H_i}{O_i} + \ln\frac{L_i}{C_i}\ln\frac{L_i}{O_i}\right]$

这是日内极差信息，用 RS 而非 GK——因为 RS 对漂移免疫，这是 YZ 抗漂移能力的来源。

权重 k：Yang 和 Zhang 推导出使总方差最小的最优权重：

$k = \frac{0.34}{1.34 + \frac{n+1}{n-1}}$

其中 n 是窗口天数。这个 k 通常在 0.15–0.18 附近，意味着 YZ 主要靠 RS 项（权重 1-k ≈ 0.83）提供日内效率，靠隔夜项补上跳空，开收项只占小权重做微调。

直觉总结：YZ = 隔夜跳空（GK 漏的）+ 白天位移（微调）+ RS 极差（高效且抗漂移）。它把三种估计量的长处拼在一起，同时避开各自的短处。

受控模拟设计#

数据生成：GBM 生成日内路径 + 独立的隔夜跳空。基准参数：日内扩散 $\sigma=0.02$（日内方差 0.0004），每交易日 234 步，隔夜跳空按”隔夜/日内比”缩放。真实总方差 = 日内方差 + 隔夜方差——这是我们要还原的目标。每个实验 3000–4000 条蒙特卡洛路径。

Yang-Zhang 的完整实现：

import numpy as np

LN2 = np.log(2.0)
GK_C2 = 2.0 * LN2 - 1.0

def rogers_satchell_var(o, h, l, c):
    hc, ho = np.log(h / c), np.log(h / o)
    lc, lo = np.log(l / c), np.log(l / o)
    return (hc * ho + lc * lo).mean()

def yang_zhang_var(open_, high, low, close, prev_close):
    """
    Yang-Zhang (2000) 窗口日方差（标量）。
    prev_close: 每天的前一日收盘（第一天用当天 open 近似）
    """
    n = len(close)
    o_ret = np.log(open_ / prev_close)      # 隔夜收益
    c_ret = np.log(close / open_)           # 开收收益
    ov_var = o_ret.var(ddof=1)              # 隔夜方差
    oc_var = c_ret.var(ddof=1)              # 开收方差
    rs = rogers_satchell_var(open_, high, low, close)
    k = 0.34 / (1.34 + (n + 1) / (n - 1))
    return ov_var + k * oc_var + (1 - k) * rs

逐图分析#

图1：只有 YZ 能还原总波动率#

这是本文最重要的一张图。场景：隔夜波动 = 日内波动（隔夜/日内比 = 1.0），所以真实总方差 = 0.0004（日内）+ 0.0004（隔夜）= 0.0008。图中黑色虚线是真实总方差，灰色点线是”仅日内方差”（0.0004）。

读这张图：

• GK 和 Parkinson 死死锚在灰色点线（仅日内 0.0004）附近，对总方差低估过半（-55.8%、-54.2%）。它们测的是”日内波动率”，隔夜的那一半波动完全没进来。
• CC 几乎无偏（-0.34%）——它用相邻收盘价差，自动包含隔夜。但代价是方差巨大（标准差 1.04e-4，是 YZ 的近 2 倍）。
• YZ 命中总方差（-5.42%），而且标准差只有 5.40e-5——比 CC 小得多。YZ 是唯一同时做到”还原总波动率”和”低方差”的估计量。

效率比 CC/YZ = 3.68x（这个场景下）。也就是说，YZ 既拿到了 CC 的无偏性（都测总波动），又把方差压到 CC 的 1/3.7。这就是 YZ 的核心价值主张：在有隔夜的真实市场里，它是 GK 高效率和 CC 无偏性的合体。

那 -5.42% 的残余偏差从哪来？主要是日内 234 步离散采样导致的 RS 项下偏（和前两篇同源），加上隔夜项在有限样本下的估计误差。方向是可预测的下偏，可用修正因子处理。

图2：三块方差如何随隔夜比重构#

这张堆叠柱状图拆开了 YZ 的内部结构。横轴是隔夜/日内比从 0 到 1.2，每根柱子由三块叠成：隔夜项（棕）、开收项 k（蓝）、RS 日内项 1-k（绿）。黑色星标虚线是真实总方差。

关键观察：

• 隔夜项（棕）随隔夜比单调膨胀：从 0 一路涨到 5.74e-4。这正是 YZ 相对 GK 的全部增量——隔夜比越大，这一块越重要，GK 漏掉的越多。
• RS 项（绿）和开收项（蓝）几乎恒定：不管隔夜比怎么变，日内结构没变，所以这两块稳定。RS 项占大头（权重 1-k ≈ 0.83）。
• YZ 合计始终紧贴真实总方差，略低约 8-10%：这个稳定的小幅下偏就是离散采样偏差，方向恒定、可修正。柱子和星标的差距在整条轴上比例一致——这本身是”实现正确”的证据（如果差距忽大忽小，说明某一块算错了）。

这张图直观说明了 YZ 的设计哲学：用不变的日内块（RS + 开收）保证效率，用可变的隔夜块吃掉 GK 的盲区。

图3：漂移免疫——YZ 继承了 Rogers-Satchell 的抗漂移基因#

上一篇我们看到 GK 被漂移污染（μ=0.04 时上偏 34%）。YZ 用 RS 而非 GK 做日内项，所以它继承了 RS 的抗漂移能力。场景：隔夜比 0.5，真实总方差 0.0005，日漂移从 0 加到 0.04。

读这张表：

• CC 被漂移彻底摧毁：μ=0.04 时上偏 319%。趋势直接进入收盘价差，CC 把趋势误当波动。
• GK 从 -29% 翻到 +7%：漂移让 GK 的开收项膨胀，估计从下偏爬向上偏，穿零点。GK 在这个隔夜场景下本来就低估（-29%，因为漏隔夜），漂移反而”歪打正着”把它推回来一点——但这是两个错误方向相反的巧合抵消，不能依赖。
• YZ 稳如磐石：从 μ=0 的 -8.13% 到 μ=0.04 的 -12.34%，只动了 4 个百分点。这个稳定性来自 RS 项的漂移免疫——趋势再强，YZ 的核心日内块也不失真。

这是 YZ 相对 GK 的第二个决定性优势：在趋势市场里，GK 会失真，而 YZ 依然可靠。对成长股、单边行情、宏观趋势品种，YZ 是明显更安全的选择。

注意 YZ 那 -8% 到 -12% 的基础偏差主要来自离散采样下偏（隔夜比 0.5 场景），不是漂移污染——漂移只贡献了从 -8% 到 -12% 那 4 个点的额外变化。

图4：效率比稳定在 7.8x，兼顾无偏与低方差#

左图是 RMSE（对总方差）随样本天数。三条线的排布揭示了本质区别：

• GK（绿）RMSE 曲线几乎不下降，卡在高位——因为它有 -55% 的隔夜盲区偏差，样本量再大也消不掉偏差（RMSE 被偏差主导）。这是”高效但有偏”的典型形态。
• CC（红）RMSE 持续下降但起点高——无偏，但方差大，需要大样本才收敛。
• YZ（橙）RMSE 全程最低——既无偏（能还原总方差）又低方差，两头都占。

右图是效率比 CC/YZ，跨 10 到 160 天稳定在 7.79x 到 8.06x（含隔夜场景）。这个数字比图1 那个 3.68x 更高，因为图1 是隔夜比 1.0 的极端场景（隔夜方差把 YZ 的方差也推高了），这里是隔夜比 0.5 的常规场景。无论哪个场景，YZ 对 CC 的效率优势都稳定在数倍量级。

结论很清楚：在有隔夜的真实市场里，YZ 是唯一 RMSE 全程压制 CC 和 GK 的估计量——GK 输在偏差，CC 输在方差，YZ 两头都赢。

对抗式检验#

在信任任何结论前，用四个对抗情形验证实现正确性：

1. CC 无偏基准：无漂移时 CC 对总方差偏差 -0.34%（图1）和 -0.05%（图3），紧贴真实值——数据引擎和总方差校准正确。✅ 通过。
2. 隔夜项方向正确：三块分解中隔夜项随隔夜比单调膨胀（0 → 5.74e-4），而 RS/开收项恒定——说明 YZ 的隔夜块确实在捕捉跳空。✅ 通过。
3. 抗漂移能力真实：YZ 在 μ 从 0 到 0.04 只变 4 个百分点，而 CC 变 319 个百分点——RS 项的漂移免疫被正确继承。✅ 通过。
4. 效率优势稳定：CC/YZ 效率比跨样本量稳定在 7.8x–8.1x，不随样本量发散——是结构性优势不是小样本偶然。✅ 通过。

四项全过，这套实现可以信任。

已知偏差与诚实边界#

• 离散采样下偏：YZ 在离散 GBM 下对总方差有约 -5% 到 -12% 的系统性下偏（主要来自 RS 项的离散极差偏差）。方向稳定可修正，但数据频率越低偏差越大。
• 需要 n > 1 的窗口：YZ 的隔夜项和开收项是样本方差，必须有多天数据才能算，无法像 GK/Parkinson 那样对单日出一个数。窗口太短（n < 5）时 k 的公式和方差估计都不稳定。
• 第一天前收依赖：隔夜项需要每天的前一日收盘。窗口第一天的前收如果缺失（用当天 open 近似），会引入小误差——长窗口下可忽略，短窗口下要注意。
• 隔夜与日内独立假设：YZ 的最优权重推导假设隔夜收益和日内收益独立。真实市场里两者可能相关（比如隔夜利空会传导到日内抛压），此时 YZ 不再是严格最优，但通常仍远好于 GK。
• 跳（jump）敏感：日内跳会放大 RS 项，隔夜跳空本身就是隔夜项要测的东西——但如果跳空异常巨大（如重组复牌一字板），隔夜项会被少数极端值主导，样本方差不稳健。
• 数据质量：YZ 用满四价 + 隔夜，对复权错误、涨跌停截断、开收价定义（集合竞价 vs 连续竞价开盘）最敏感。

代码实现#

以下是 YZ 的滚动窗口实现，可直接用于真实 OHLC 数据：

import numpy as np
import pandas as pd

def yang_zhang_rolling(df, window=30, annualize=252,
                       cols=("open", "high", "low", "close")):
    """
    Yang-Zhang 滚动年化波动率。
    df: 含 OHLC 列的 DataFrame（按日期升序）
    window: 估计窗口天数（建议 >= 20）
    """
    o, h, l, c = (df[x] for x in cols)
    log_ho = np.log(h / o)
    log_lo = np.log(l / o)
    log_co = np.log(c / o)
    log_oc = np.log(o / c.shift(1))   # 隔夜收益
    log_cc = np.log(c / c.shift(1))   # 收收收益（备用）

    # Rogers-Satchell 单日项
    rs = log_ho * (log_ho - log_co) + log_lo * (log_lo - log_co)

    n = window
    k = 0.34 / (1.34 + (n + 1) / (n - 1))

    ov_var = log_oc.rolling(n).var(ddof=1)      # 隔夜方差
    oc_var = log_co.rolling(n).var(ddof=1)      # 开收方差
    rs_var = rs.rolling(n).mean()               # RS 方差

    yz_daily_var = ov_var + k * oc_var + (1 - k) * rs_var
    return np.sqrt(yz_daily_var.clip(lower=0) * annualize)

# 使用：
# df 需含 open/high/low/close，按日期升序
# vol = yang_zhang_rolling(df, window=30)

三段式总结#

A. 实现细节#

• 数据口径：模拟用日内扩散 $\sigma=0.02$ + 独立隔夜跳空（按隔夜/日内比缩放），每交易日 234 步 GBM，3000–4000 条路径，固定种子 20260801。真实总方差 = 日内方差 + 隔夜方差。
• 估计量口径：YZ = 隔夜项（前收→次开对数收益样本方差）+ k×开收项（开→收对数收益样本方差）+ (1-k)×RS 项；k = 0.34/(1.34+(n+1)/(n-1))。RS 项用 $\ln(H/C)\ln(H/O)+\ln(L/C)\ln(L/O)$。
• 效率比口径：$\text{Var}(\hat\sigma^2_{CC})/\text{Var}(\hat\sigma^2_{YZ})$，隔夜比 1.0 场景 3.68x，隔夜比 0.5 场景 7.8x–8.1x。
• 偏差修正：离散 GBM 下 YZ 约 -5% 到 -12% 系统性下偏，可用修正因子；有隔夜、有漂移时 YZ 仍稳定，是主要卖点。

B. 已知偏差#

• 需要多天窗口：YZ 无法对单日出数，窗口 n < 5 时不稳定，建议 n ≥ 20。
• 离散采样下偏：主要来自 RS 项，方向稳定约 -5% 到 -12%。
• 独立性假设：隔夜与日内独立是最优权重的前提，真实市场有相关性时 YZ 不再严格最优（但仍远好于 GK）。
• 第一天前收依赖：短窗口下窗口首日前收缺失会引入小误差。
• 极端跳空不稳健：隔夜项是样本方差，一字板等极端隔夜值会主导估计。

C. 结果解读#

• YZ 的真正价值：它是波动率估计量族谱的终点站——同时解决了 GK 的两个短板（隔夜盲区 + 漂移敏感），又保持了数倍于 CC 的效率。在有隔夜、可能有趋势的真实市场（A 股、港股、成长股），YZ 是理论上最全面的选择。
• 何时用 YZ：需要总波动率（含隔夜风险，做 VaR、隔夜持仓风险、期权定价）、且标的可能有趋势时，YZ 是首选。它是唯一在这些条件下既无偏又高效的估计量。
• 何时不必用 YZ：如果你只要日内波动率（比如日内交易策略、日内风控），GK 更简单且效率略高（8.4x vs YZ 的隔夜盲区不存在但结构更简单）；如果隔夜效应极弱（成熟市场大盘股）、无趋势，GK 够用。
• 族谱总结：CC（无偏但方差大、含隔夜）→ Parkinson（高效但漏隔夜、怕漂移）→ Garman-Klass（更高效但漏隔夜、怕漂移）→ Rogers-Satchell（抗漂移但漏隔夜）→ Yang-Zhang（含隔夜 + 抗漂移 + 高效，三者合一）。每一步都在补上前一个的短板，YZ 是集大成者。
• 研究 vs 实盘：YZ 在干净模拟里的表现堪称完美，但它对数据质量的要求也最高——四价 + 隔夜 + 集合竞价定义，任何一环的数据脏了都会污染估计。用前务必检查复权方式、开收价定义、涨跌停截断，并在历史数据上验证偏差方向。复杂度换全面性，值不值取决于你是否真的需要”含隔夜的总波动率”。