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1985 年 Cox-Ingersoll-Ross 用一篇论文堵住了 Vasicek 最大的洞——利率能变负。CIR 把扩散系数从常数改成 √r：当利率逼近 0 时扩散也趋 0、而向上的均值回复拉力仍在，于是利率被「非负地板」托住。本文从 Milstein 精确模拟讲起，用 CIR 仿射闭式演示：①利率永不低于 0（Feller 条件 2ab>σ² 成立时，模拟最低 2.14%）；②平稳分布是 Gamma、均值=中枢 b；③收益率曲线随 r₀ 切换（低→上翘 +172bp / 高→反转 −177bp）；④贴近零地板时波动率塌缩、短端被钉死。附完整 Python 与六类真实陷阱(中阶)。

1977 年 Vasicek 用一篇论文把「利率是怎么动的」写成了一个极简的随机微分方程：瞬时短利率服从 Ornstein-Uhlenbeck 过程 dr = a(b−r)dt + σdW。它均值回复、正态、可穿零，并且——最妙的是——债券价格和整条收益率曲线都有解析闭式解。本文从 OU 模拟路径讲起，用 Vasicek 闭式演示：①短端利率如何均值回复到长期中枢 b；②收益率曲线形状如何随当前短利率 r 相对中枢切换(低→上凸、高→反转)；③期限溢价(10Y−2Y)如何由回复速度 a 与波动 σ 决定；④央行收紧(抬升当前短端 r)时曲线如何整体抬升、短端首当其冲。附完整 Python 与六类真实陷阱(中阶)。

收益率曲线不是一条静态曲线，而是一团随时间蠕动的形态。Diebold-Li 的动态 Nelson-Siegel 用「水平/斜率/曲率」三个因子把整条曲线压成 3 个数：水平=长期中枢、斜率=短长利差（倒挂信号）、曲率=中段隆起。把三因子当隐状态、用 AR(1) 驱动、卡尔曼滤波平滑，就能边出新券边追踪曲线形变。合成里卡尔曼还原整条曲线 RMSE 仅 3.55bps（最大 3.91bps），注入的「倒挂→修复」形变被 L/S/C 三因子干净拆出。附完整 Python 与六类真实陷阱（高阶）。

用 Nelson-Siegel 三因子模型把 11 个期限的收益率曲线压缩成「水平 / 斜率 / 曲率」三个可解释因子，Python 完整复现曲线拟合、因子时序与载荷分解。