收益率曲线 PCA：把利率期限结构压成水平/斜率/曲率三因子 • halo 的技术博客

问题：一条曲线十几个点，到底有几个自由度？#

一条国债收益率曲线，横轴是到期期限（3 个月、1 年、5 年、10 年、30 年……），纵轴是对应的收益率。每天收盘，这十几个点都会动一动。如果你把它当成十几个独立的变量去建模——十几个 GARCH、十几组相关系数——你会淹死在参数里，而且大部分是冗余的。

因为这些点不是各自乱动的。当美联储加息，短端和长端一起往上抬，只是幅度不同；当市场预期衰退，长端先掉、短端还没动，曲线变平甚至倒挂；当中段（比如 5 年）相对两端异动，曲线出现凸起或凹陷。收益率曲线的变动高度协同，真正的自由度远小于期限点的个数。

这正是主成分分析（PCA）的用武之地。PCA 是一个纯粹的、无监督的降维工具：它不需要你事先告诉它”水平、斜率、曲率”这些概念，它只看数据的协方差结构，自己找出几个相互正交、按方差大小排序的方向，让前几个方向就能重构出绝大部分变动。

三十多年前，Litterman 和 Scheinkman 把 PCA 用在美债收益率曲线上，得到了一个后来写进所有固收教科书的结论：前三个主成分就能解释收益率曲线 95% 以上的变动，而且它们分别对应水平（level）、斜率（slope）、曲率（curvature）三个有清晰经济含义的因子。 本文用固定种子 20260801 造一个”真实因子已知”的世界，检验四件事：PCA 能不能把我埋进去的三个因子干净地挖出来？方差是怎么分配的？PCA 有哪些必须警惕的陷阱？以及——曲率因子能不能拿来交易？

一、把三个已知因子埋进曲线，再让 PCA 挖出来#

我造 10 个期限点（0.25 到 30 年），1500 个交易日。每一天的收益率变动，由三个相互独立的隐藏因子线性驱动，外加一点各期限独立的特异噪声：

$\Delta y_t(\tau) = f^L_t \cdot L(\tau) + f^S_t \cdot S(\tau) + f^C_t \cdot C(\tau) + \varepsilon_t(\tau)$

其中三条载荷曲线 $L, S, C$ 是我设定的”真相”：

水平载荷 $L(\tau) \equiv 1$ ：所有期限同向同幅移动——整条曲线平移。
斜率载荷 $S(\tau)$ ：短端为正、长端为负（去均值后的 Nelson-Siegel 短端衰减项）——短端和长端反向动，曲线变陡或变平。
曲率载荷 $C(\tau)$ ：两端为负、中段为正——中段相对两端凸起或凹陷，曲线”拱背”或”塌腰”。

三个因子的日度变动方差我按现实中的相对重要性设定（水平最大、斜率次之、曲率最小）。关键在于：PCA 完全不知道这些载荷长什么样，它只拿到一个 1500×10 的收益率变动矩阵。 我们要看它能不能自己把 $L, S, C$ 恢复出来。

PCA 的做法极简单——对日度变动矩阵求协方差矩阵，做特征分解，特征向量就是主成分载荷，特征值就是各主成分解释的方差：

def pca(dy):
    X = dy - dy.mean(axis=0, keepdims=True)
    C = np.cov(X, rowvar=False)          # 期限 × 期限 协方差矩阵
    w, V = np.linalg.eigh(C)             # 特征值(方差) + 特征向量(载荷)
    order = np.argsort(w)[::-1]          # 按方差降序
    w, V = w[order], V[:, order]
    evr = w / w.sum()                    # 方差解释比
    scores = X @ V                       # 每天在各主成分上的得分
    return w, V, evr, scores

python

PCA 恢复水平/斜率/曲率三因子

左图是模拟出的收益率曲线在 6 个时点的快照——你能直观看到它在平移、变陡、弯曲。右图是核心结果：把 PCA 恢复出的前三个主成分载荷（空心标记）叠在我设定的真实载荷（实线）上。

PC1（黑）：一条几乎水平的直线，所有期限载荷同号——正是水平因子。它的载荷平坦度变异系数只有 0.004，同号占比 100%。
PC2（蓝）：短端正、长端负，穿过零点——正是斜率因子，与真实斜率载荷相关系数 1.000。
PC3（红）：两端负、中段正的拱形——正是曲率因子，相关系数 0.997。

PCA 在完全不知道”水平斜率曲率”这些概念的前提下，纯靠协方差结构，把我埋进去的三个因子几乎完美地挖了出来。这不是我调参调出来的巧合，这是收益率曲线协方差结构的内在性质——真实美债数据上做同样的事，会得到形状几乎一样的三条载荷。

二、方差是怎么分配的：三个因子够不够？#

PCA 的第二个产出是方差解释比——每个主成分吃掉了总变动的百分之几。这决定了”用几个因子够用”。

碎石图与累计方差解释

图2a 是碎石图（scree plot）：

主成分	方差解释	经济含义
PC1	91.1%	水平（平移）
PC2	7.5%	斜率（变陡/变平）
PC3	0.9%	曲率（拱背/塌腰）
PC4+	合计 <0.5%	噪声

图2b 的累计曲线显示：前三个主成分合起来解释了 99.5% 的变动。 剩下七个主成分加起来不到 0.5%，基本是噪声。

这个 91% / 7.5% / 0.9% 的分配，和 Litterman-Scheinkman 在真实美债上得到的经典比例（水平约 89%、斜率约 8%、曲率约 2%）高度一致。它有一个深刻的实践含义：你完全可以用三个数字（三个因子的当前值）来概括整条收益率曲线的状态，做久期对冲时只需要对冲这三个因子的暴露，而不是对冲十几个期限点。这就是 PCA 在固收风险管理里最核心的价值——把高维、冗余、相关的期限点，压缩成三个正交、独立、有意义的风险维度。

三、两个必须警惕的陷阱：符号与稳定性#

PCA 好用，但它有两个坑，不知道的人会栽进去。

对抗式检验：符号、稳定性、伪因子、置换

图4a：载荷的正负号是数学上任意的。 特征向量 $v$ 和 $-v$ 都是同一个特征值的合法特征向量——PCA 无法告诉你斜率因子到底是”短端正长端负”还是”短端负长端正”。图里两条曲线（约定符号 vs 相反符号）都是完全合法的 PCA 输出。这意味着：如果你今天跑一遍 PCA 得到一组载荷，明天数据更新后重跑，斜率因子的符号可能整个翻过来——不是市场变了，是数学的自由度。实践中必须人为固定符号约定（比如强制 PC1 全正、PC2 短端为正），否则你的因子时间序列会莫名其妙地上下翻转。

图4b：主成分方向在不同样本上会漂移。 我把数据切成前后两半，各自做一次 PCA，比较两组主成分张成的子空间夹角：

PC1（水平）：夹角 0.2°——极其稳定，前后两个样本几乎指向同一方向。
PC2（斜率）：夹角 0.8°——同样很稳。
PC3（曲率）：夹角 1.5°——明显更大。

规律很清楚：方差越大的因子越稳定，方差越小的因子方向噪声越大。 曲率因子只解释 0.9% 的方差，它的方向本身就容易被噪声推着晃。这提醒你：拿曲率因子去做交易或风险管理，要比用水平、斜率因子谨慎得多——你以为的”曲率信号”，可能有相当一部分是估计噪声。

图4c：伪因子对照——PCA 永远会给你三个因子，哪怕根本没有。 这是最硬的一个检验。我喂给 PCA 一个”十条完全独立的随机变动”矩阵（各期限之间没有任何共同因子），看它的方差分配：PC1 只能解释 11.4% 的方差，其余主成分把方差摊得很平。对比真实数据里 PC1 的 91% 主导——这个巨大的差距本身，就是”数据里确实存在强共同因子”的证据。如果你在真实数据上跑 PCA，发现 PC1 只解释 15%、方差摊得很平，那说明你的资产之间没有强共动结构，硬套”三因子”是自欺欺人。PCA 总会返回排序好的主成分，但只有当头部主成分显著主导时，“因子”才有意义。

四、曲率能不能交易？2-5-10 蝶式#

三个因子里，水平和斜率的变动主要是趋势性的（利率长期漂移、周期性变陡变平），而曲率因子在现实中常表现出均值回归——中段相对两端的凸起，往往会回落。这催生了固收里一个经典的相对价值交易：蝶式（butterfly）。

经典的 2-5-10 蝶式价差定义为：

$\text{Butterfly} = 2 \cdot y(5Y) - y(2Y) - y(10Y)$

它做多中段（5 年）、做空两翼（2 年和 10 年），是一个几乎纯粹的曲率暴露——对水平移动（三个点一起动）和斜率变化（两端反向）基本免疫，只赌中段相对两翼的凸起会不会回归。

因子得分与蝶式交易

图3a 是三个因子的累计得分：水平因子（黑）呈明显的趋势漂移（利率在这段样本里整体走高），而斜率（蓝）、曲率（红）围绕均值波动——这正是”水平做趋势、曲率做回归”的直觉来源。

图3b 是蝶式价差序列。我对它跑一个因果的滚动 z 分数均值回归策略（120 日窗口，z>1 做空曲率、z<-1 做多、回归到 ±1 内平仓），得到 Sharpe 1.82。在图4d 的置换检验里，这个 1.82 远超 300 次置换（打乱价差的日度变动再重构序列、重跑策略）的 95 分位 0.78，最大值也才 1.15——证明蝶式里的均值回归结构是真实的时序动力，不是偶然。

但请把 SOUL 里的诚实边界记牢：这个 1.82 是在我设定曲率因子确实均值回归的模拟世界里得到的。 真实市场里曲率是否、以及多快均值回归，是一个需要用样本外数据反复验证的经验问题；而且曲率因子（图4b）本身就是三个因子里估计噪声最大的一个。蝶式交易在真实世界的敌人是：曲率的均值回归速度不稳定、交易三条腿的成本三倍于单腿、以及流动性在长端和中段的差异。模拟能证明”如果曲率均值回归，蝶式能提取它”，但不能证明”真实曲率一定均值回归”。

三段式总结#

A. 实现细节#

数据生成：10 个期限点（0.25–30 年）、1500 日。日度收益率变动由三个独立隐藏因子（水平/斜率/曲率）线性驱动，载荷用 Nelson-Siegel 风格设定，其中斜率、曲率载荷去均值以保证与水平因子正交（否则全正的斜率载荷会投影到水平方向、扭曲方差分配），外加各期限独立特异噪声，固定种子 20260801。
PCA：对日度变动（不是收益率水平）求协方差矩阵、特征分解。用特征值排序得方差解释比，特征向量为载荷，去均值后投影得每日因子得分。恢复质量用”载荷与真实载荷的相关系数”（斜率、曲率）和”同号占比 + 平坦度变异系数”（水平因子的真实载荷是常数，相关系数无定义）度量。
蝶式交易：2-5-10 蝶式价差，用一个带 OU 均值回归的曲率过程合成可交易价差；因果滚动 z 分数（120 日窗）做均值回归，z 阈值 ±1 进出场。
对抗式检验：(1) 展示 $v$ 与 $-v$ 同为合法载荷的符号不确定性；(2) 前后半样本各做 PCA、比子空间主夹角；(3) 独立随机变动矩阵的 PCA 方差分配对照；(4) 蝶式策略置换检验（打乱价差日度变动重构序列重跑）。

B. 已知偏差#

PCA 做在变动上而非水平上：收益率水平是高度非平稳（近单位根）的，直接对水平做 PCA 会让 PC1 混入趋势、失去”因子”含义。本文对日度变动做 PCA，这是标准做法，但也意味着因子是”变动的方向”而非”水平的形状”。
载荷符号需人为固定：如前所述，PCA 无法定符号。跨样本、跨时间使用因子序列时，必须用固定的符号约定（如 PC1 全正），否则因子时间序列会随机翻转。
小方差因子方向不稳：曲率因子只解释 0.9% 方差，方向噪声大（图4b 夹角 1.5°）。基于曲率的信号（含蝶式）比基于水平、斜率的信号脆弱得多。
线性、高斯假设：PCA 只捕捉线性协方差结构，对收益率曲线在极端行情下的非线性联动（如零利率下限附近的形变、危机时的 flight-to-quality）会失效。真实曲率的均值回归速度也非恒定。
蝶式的零成本口径：Sharpe 1.82 未建模三条腿的交易成本、买卖价差、以及不同期限的流动性差异。真实蝶式交易成本约为单腿的三倍，会显著侵蚀这个数字。

C. 结果解读#

收益率曲线真的只有三个自由度：91% + 7.5% + 0.9% = 99.5%。这不是降维的近似妥协，而是接近无损的压缩——用三个因子的当前值几乎能完整复原整条曲线的变动。这就是为什么固收风险管理可以只对冲三个因子，而不必对冲十几个期限点。
PCA 恢复因子的能力是结构性的，不是拟合出来的：斜率、曲率载荷与真相相关系数 1.00 和 0.997，是因为收益率曲线的协方差结构本身就由这三个正交因子主导。真实美债上做同样的事会得到形状几乎一样的载荷——这是可复现的经验规律，不是本文模拟的特例。
伪因子对照是判断”因子是否存在”的免费工具：真实数据 PC1 解释 91%，独立随机数据 PC1 只解释 11.4%。这个对照告诉你一个通用判据——当头部主成分显著主导时因子才有意义；如果你的资产集上 PC1 只解释十几个百分点、方差摊得很平，那”三因子模型”是强加的，数据里根本没有强共同结构。
符号与稳定性是 PCA 的两个隐性成本：符号任意性会让粗心的人得到会随机翻转的因子序列；小方差因子的方向漂移会让基于它的信号充满噪声。用 PCA 因子做交易前，先问”这个因子的符号我固定了吗、它的方向在样本外稳吗”。
曲率可交易，但它是三因子里最脆弱的一个：蝶式 Sharpe 1.82 且显著超越置换，说明”如果曲率均值回归，PCA/蝶式框架能干净地提取它”。但曲率因子方差最小、方向最不稳、交易成本最高——它是三个因子里最诱人也最危险的一个。先用样本外数据确认曲率在你的市场里确实均值回归，再谈交易。