CUSUM 结构突变检测：用累积和滤波器抓住行情的『变脸』时刻
「行情什么时候变脸的？」事后人人都能指出来，事中没人说得清。CUSUM（Page 1954）用一个朴素到极致的机制回答这个问题：把去均值后的收益不断累加，正累积和 S⁺ 只增不减直到触阈报警，负累积和 S⁻ 对称监控下行——单日噪声互相抵消，持续的单向漂移却会线性积累，这就是它区分『抖动』和『变脸』的全部原理。三段 regime 合成行情实测：h=5σ 时第一个突变（牛转熊）延迟 9 天检出、第二个（熊转牛）23 天；阈值扫描给出灵敏度-误报的完整权衡曲线——h 从 3σ 提到 8σ，纯随机游走上的误报从 115 次砍到 23 次，检测延迟只从 2 天涨到 10 天。AFML 把它重新包装成 ML 事件采样器：只在 CUSUM 触发处采样打标签，实测样本前瞻已实现波动比固定间隔采样高 19.5%——样本更『有戏』。三盆冷水：随机游走上照样报警（它测的是漂移显著性不是因果）、阈值以波动率计价必须动态更新、检测延迟意味着报警时行情已走了一段（中阶）。
问题：行情『变脸』只有事后才看得清#
打开任何一张长周期 K 线图，regime 切换点一目了然：2018 年初的牛转熊、2019 年初的 V 形反转、2024 年 9 月底的暴力拉升。事后诸葛人人都会当。
难的是事中。身处其中时，你面对的问题是：
- 今天跌 2%，是牛市正常回调，还是趋势反转的第一天？
- 连跌三天了，均值回复策略该继续加仓摊低成本，还是该认输止损？
- 我的动量模型是在旧 regime 上训练的，新 regime 到了吗，该重训了吗？
这三个问题本质是同一个：收益序列的漂移（均值）是否发生了统计上显著的变化。单看某一天的涨跌回答不了——日收益的信噪比太低，一天 -2% 在 σ=1.5% 的市场里连 1.5 个标准差都不到。你需要一个能积累证据的机制。
这正是 CUSUM（Cumulative Sum，Page 1954）被发明出来的目的。它最初用于工业质量控制——监控生产线什么时候开始批量出次品——七十年后被 López de Prado 在《Advances in Financial Machine Learning》里重新包装成金融 ML 的事件采样器。
机制：让噪声互相抵消，让漂移线性积累#
对称 CUSUM 滤波器维护两个累积量。设 (x_t) 是去均值后的收益（减掉长期均值或期望值）：
规则只有两条：
- (S^+_t > h)：报警「上行突变」，(S^+) 归零重新积累；
- (S^-_t < -h)：报警「下行突变」，(S^-) 归零。
这个设计的巧妙之处全在 max(0, ·) 这一步：
- 无漂移时：正负收益交替出现，(S^+) 涨一点又被负收益拉回，频繁触底归零，像一个不断被重置的随机游走——很难爬到阈值 (h)；
- 出现正漂移 (\mu > 0) 时：每天期望多贡献 (\mu)，(S^+) 获得线性增长趋势，以 (O(h/\mu)) 的时间确定性触阈。
一句话：噪声是零和的，漂移是单向的；累加让前者抵消、让后者放大。这和上一篇失衡棒追踪签名流 θ 是同一个数学直觉（随机游走 (O(\sqrt{T})) vs 带漂移 (O(T)) 的触阈速度差），只是 CUSUM 加了『触底归零』让它专注于最近的漂移而不被遥远的历史稀释。
核心实现十几行：
import numpy as np
def sym_cusum(returns: np.ndarray, h: float):
"""对称 CUSUM 滤波器。
returns: 去均值后的收益序列
h: 报警阈值（建议以波动率的倍数计价）
返回 [(触发位置, 方向 ±1), ...]
"""
s_pos, s_neg, events = 0.0, 0.0, []
for i, x in enumerate(returns):
s_pos = max(0.0, s_pos + x)
s_neg = min(0.0, s_neg + x)
if s_pos > h:
events.append((i, +1))
s_pos = 0.0 # 报警后归零，重新积累证据
elif s_neg < -h:
events.append((i, -1))
s_neg = 0.0
return events注意触阈后归零重启——这让 CUSUM 天然输出的是事件流而不是单次判决，一段持续的强趋势会触发一连串同向事件，事件密度本身就携带信息。
实验：三段 regime 的合成行情#
构造 1000 个交易日的合成价格，漂移和波动率分三段切换：
| 段 | 交易日 | 日漂移 | 日波动 | 语义 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0–399 | +0.02% | 1.0% | 慢牛 |
| 2 | 400–699 | -0.15% | 1.8% | 急熊 |
| 3 | 700–999 | +0.10% | 1.2% | 修复牛 |
真实突变点在第 400 和 700 天。阈值取 (h = 5\sigma)（σ 用全局波动率 1.2% 近似）。
上图是价格与事件标记，下图是 (S^+)（红）和 (S^-)（绿）的实时轨迹。几个值得盯着看的细节：
- 慢牛段（前 400 天）：漂移弱，(S^+) 偶尔爬升触阈，产生稀疏的上行事件——CUSUM 没有失明，只是按证据强度节流；
- 第 400 天牛转熊：(S^-) 几乎立刻开始单调下坠，9 个交易日后触发第一个下行事件。此后熊市段下行事件密集成串——事件流的方向和密度清楚地告诉你 regime 变了；
- 第 700 天熊转牛：延迟 23 天才检出。为什么比第一次慢？因为熊市段波动率高（1.8%），修复段的正漂移（+0.10%）要在更吵的背景里积累证据，信噪比更低。检测延迟反比于漂移强度、正比于波动率——这是 CUSUM 的基本物理。
阈值 h：灵敏度与误报的完整权衡#
h 是 CUSUM 唯一的超参数，它同时控制两个互相打架的量：
- 事件数（蓝柱）：h 从 1σ 到 12σ，事件数从 438 断崖式跌到 17。h=1σ 时几乎天天报警，事件毫无信息量；h=12σ 时一年触发不了几次；
- 检测延迟（红线）：h=3σ 时第一个突变 2 天检出，h=8σ 以上稳定在 10~11 天。延迟随 h 增长得远比事件数下降得慢——这是 CUSUM 对使用者友好的一面：把 h 从 3σ 提到 8σ，误报大幅减少，真实突变的检出只多等一周。
误报率值得单独量化。在纯随机游走（无任何突变）上跑 300 次蒙特卡洛：
1000 天的无突变序列，h=3σ 平均触发 114.9 次，h=5σ 触发 52.3 次，h=8σ 仍有 23.2 次。这张图是全文最重要的一盆冷水：CUSUM 事件 ≠ 真实结构突变。随机游走靠运气也能积累出局部漂移，CUSUM 忠实地报告『这段漂移在统计上不小』，但它不知道也不关心漂移背后有没有经济原因。它是漂移显著性探测器，不是因果检测器。
实务上的含义：不要把单个 CUSUM 事件当交易信号，把它当采样时刻或审查触发器——这正是 AFML 的用法。
AFML 用法：CUSUM 作为 ML 事件采样器#
López de Prado 给 CUSUM 的现代定位不是『突变检测器』而是事件驱动采样器：训练 ML 模型时，不要在每个 bar 上都打标签（相邻样本高度重叠、大部分时段什么都没发生），而是只在 CUSUM 触发处采样——那里刚刚积累了一段显著的单向行情，是『市场正在发生什么』的时刻。
用本文的合成序列做对照实验：CUSUM 事件采样 vs 等间隔采样（样本数对齐），比较采样点之后 20 日的已实现波动：
CUSUM 采样点的前瞻已实现波动均值 0.0682，固定间隔采样 0.0571——高 19.5%。机制不神秘：CUSUM 触发处大概率位于漂移段内部，而漂移与波动 regime 相关（本实验的熊市段既有强漂移也有高波动），采样自然偏向『有戏』的时段。对三重障碍标注（止盈/止损/超时）来说，样本更快触碰障碍、标签更少是噪声，下游模型学到的东西更干净。
配合三重障碍的完整流水线是：
# 1. CUSUM 采样事件时刻
events = sym_cusum(returns - returns.mean(), h=5 * vol)
t_events = [i for i, side in events]
# 2. 每个事件时刻用三重障碍打标签
# （止盈 = +2σ、止损 = -2σ、超时 = 20 日）
# 3. 特征只用事件时刻之前的信息，喂给分类器三盆冷水#
第一盆：随机游走也报警，且不少。 上文已量化：h=5σ 时 1000 天误报 52 次。CUSUM 回答的是『最近的累积漂移是否超过 h』，不回答『市场是否真的换了 regime』。想要后者，需要更重的统计工具（SADF、Bai-Perron、Markov 切换模型），CUSUM 是它们的轻量前哨，不是替代品。
第二盆：h 必须以波动率计价并动态更新。 本文用全局 σ 是合成实验的偷懒。真实市场波动率本身就在切换——2015 年的 5σ 和 2017 年的 5σ 差好几倍。固定绝对阈值的 CUSUM 在高波动期天天报警、低波动期集体失声。实务标准做法是 h = k × EWMA 波动率，且 k 的选择要用类似上文的误报-延迟扫描在自己的标的上校准。副作用是引入了第二个参数（EWMA 半衰期），没有免费午餐。
第三盆：检测延迟意味着报警时行情已经走掉一段。 h=5σ 的 9 天延迟，在日漂移 -0.15% 的熊市里意味着报警时价格已跌 ~4%（还不算波动贡献）。CUSUM 事件天然滞后于突变点——它需要时间积累证据，这是所有序贯检测的宿命（快速检测理论里的 detection delay 下界）。所以它适合的下游是『重训模型』『切换风控档位』『触发人工审查』这类对几天延迟不敏感的动作，直接当反转交易信号则是在为延迟买单。
在工具链中的位置#
CUSUM 与本专栏此前几篇的关系值得摆清楚：
- 失衡棒在 tick/bar 级用签名流累积检测知情交易，CUSUM 在日线级用收益累积检测漂移突变——同一个『累积和触阈』骨架，不同的监控对象；
- 趋势扫描标注回答『这段行情是不是趋势』（回望式打标签），CUSUM 回答『趋势是不是刚刚变了』（在线式报警），前者供训练、后者供监控；
- 对严肃的结构突变检验（带 p 值的那种），CUSUM 之后接 SADF 或 Bai-Perron 做确认。
一句话总结：CUSUM 是量化工具箱里的烟雾报警器——便宜、灵敏、偶尔误报，你不会因为它响了就断定房子着火，但你一定会起身去看一眼。
参考文献#
- Page, E. S. (1954). Continuous Inspection Schemes. Biometrika, 41(1/2), 100–115.
- López de Prado, M. (2018). Advances in Financial Machine Learning. Wiley. Chapter 2 (The CUSUM Filter).
- Lam, K., & Yam, H. C. (1997). CUSUM Techniques for Technical Trading in Financial Markets. Financial Engineering and the Japanese Markets, 4, 257–274.