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Vasicek 模型能漂到负利率，在真实利率贴近 0 时很尴尬。Hull-White（1990）把扩散系数保留为常数、让中枢可时变，用 Ornstein-Uhlenbeck 过程给整条收益率曲线一个解析闭式。本文用自洽合成数据从零模拟利率路径、推导债券定价闭式、画出整条曲线随利率切换上凸/倒挂，并用池化 OU 最大似然把参数还原到真值，附完整 Python 与六类真实陷阱（中阶）。

1985 年 Cox-Ingersoll-Ross 用一篇论文堵住了 Vasicek 最大的洞——利率能变负。CIR 把扩散系数从常数改成 √r：当利率逼近 0 时扩散也趋 0、而向上的均值回复拉力仍在，于是利率被「非负地板」托住。本文从 Milstein 精确模拟讲起，用 CIR 仿射闭式演示：①利率永不低于 0（Feller 条件 2ab>σ² 成立时，模拟最低 2.14%）；②平稳分布是 Gamma、均值=中枢 b；③收益率曲线随 r₀ 切换（低→上翘 +172bp / 高→反转 −177bp）；④贴近零地板时波动率塌缩、短端被钉死。附完整 Python 与六类真实陷阱(中阶)。

1977 年 Vasicek 用一篇论文把「利率是怎么动的」写成了一个极简的随机微分方程：瞬时短利率服从 Ornstein-Uhlenbeck 过程 dr = a(b−r)dt + σdW。它均值回复、正态、可穿零，并且——最妙的是——债券价格和整条收益率曲线都有解析闭式解。本文从 OU 模拟路径讲起，用 Vasicek 闭式演示：①短端利率如何均值回复到长期中枢 b；②收益率曲线形状如何随当前短利率 r 相对中枢切换(低→上凸、高→反转)；③期限溢价(10Y−2Y)如何由回复速度 a 与波动 σ 决定；④央行收紧(抬升当前短端 r)时曲线如何整体抬升、短端首当其冲。附完整 Python 与六类真实陷阱(中阶)。