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去趋势传统上靠固定窗 MA，但窗口选错就要么留周期要么滞后趋势——EMD 走完全不同的路：让数据自己把每个尺度拆出来做 IMF。本文 numpy 从零实现 sifting 算法，在含 21d/63d 双周期 + S 形非平稳趋势的 1024 天合成数据上得到 6 个 IMF，残差对真实趋势相关 0.958；MA 窗口扫描 MSE 呈典型 U 形（最优 MA63 mse 0.00004，EMD mse 0.004），EMD 不必选窗即落在合理区间。最后用 Hilbert 变换把每个 IMF 转成瞬时频率，得到 60-100 日区间能量随时变化的 Hilbert-Huang 谱。附完整 Python 与四张真实计算图。

月度/季度/年度周期是技术分析最古老的假设，但能写成可证伪、可量化的策略吗？本文用 numpy 从零实现对数收益的傅里叶分解，把 1024 天合成价格拆成 21 日/63 日/252 日三个可交易正弦，周期图三处明显出峰，最小二乘拟合恢复振幅 0.0076/0.0055/0.0050（真实 0.008/0.006/0.0045）。用 63 日相位符号生成 ±1 择时信号：年化 Sharpe 6.20 vs 买入持有 0.24，1024 天累计对数收益 5.17 vs 0.22——周期相位确实可交易。附完整 numpy 实现与四张真实计算图。

期权波动率曲面总是稀疏的——只有主力合约 (m,T) 网格上能拿到报价,中间区域要么没数据要么带 bid-ask 噪声。传统线性插值在网格点之间留肉眼可见的折线,最近邻插值在网格上是台阶。本文 numpy 从零实现 2 维 RBF 核高斯过程 (GP) 回归,在含偏度/微笑/期限结构的合成曲面上用 35 个 (m,T) 观测点 (含 3% 乘性噪声) 拟合超参数 (L-BFGS-B 最大化 log 边缘似然),得到 ell_m=1.34, ell_T=1.10, logMLL=98.21。300 个独立测试点上的 RMSE: GP=0.0055 vs 线性=0.0064 vs 最近邻=0.0147;T=0.5 年切片的 RMSE: GP=0.0023 vs 线性=0.0031。GP 还免费给出后验标准差,告诉你哪里可信、哪里别信。附完整 Python 与四张真实计算图。

波动率从来不是单尺度的——日内聚类是几天的记忆、季节性 regime 是几个月的慢节律，可 GARCH(1,1) 只给你一条 σ_t 曲线。本文用 numpy 从零实现 MODWT(à trous 平稳小波)的 db4 版本，把 1024 天合成收益的波动率代理 |r| 拆到 5 个尺度：W1(2-4日)、W2(4-8日)、W3(8-16日)、W4(16-32日)、V4(>32日)，证明它的能量按尺度是 16%/17%/20%/25%/21%——真正的多尺度分布，不是白噪声。GARCH(1,1) 标准化后的残差 |z| 把 V4 压到 16.9%、把快尺度拉回到 ~20% (接近 iid 平衡)，但 W4(16-32日) 仍抬到 23.4%——单参数平滑器在中间尺度留下痕迹。附完整 numpy 实现与四张真实计算图。

秒级 tick 价格里混着买卖价差、错单、报价粒度带来的微观结构噪声——直接平方求和会把积分波动率(IV)估高 161%。本文用 numpy 从零实现 Parzen 已实现核(Realized Kernel)，靠 lag1 自协方差把 2Nη² 噪声项精确抵消，在 h=1 全采样下就还原真实 IV=0.0016；并给出 γ_1=-η² 的噪声方差估计。附完整 numpy 实现与四张真实计算图。

要卖掉 100 万股，一次性砸下去会把价格砸穿；TWAP 均分又扛着最大的库存风险。经典 Almgren-Chriss(AC) 用闭式解给出「前重后轻」的最优拆单，但它假设连续时间、平滑冲击。本文用 REINFORCE 策略梯度直接在离散环境里学拆单：30 步、临时冲击 ε=0.01、波动 σ=0.05、风险厌恶 λ=9。结果——REINFORCE 期望总成本 0.00367(3.67bps)，远低于 TWAP 的 0.01082(10.82bps, 降 66%)，也比 naive 离散化的 AC 闭式(0.00583)更低；实现短fall 标准差从 TWAP 的 0.032 压到 0.005(约 1/6)。图表显示它学到与 AC 一致的「前重后轻」，且因为端到端优化真实离散成本，落在 AC 公式之下。附完整 numpy 实现与四张真实计算图。

标准 PCA 的载荷是稠密的——30 个资产、3 个因子，90 个载荷系数全是小数，你看不出「哪个因子驱动哪组股票」。本文用 numpy 从零实现 Zou-Hastie 弹性网稀疏 PCA，在 30 资产 / 3 因子的块状合成因子模型上把 90 个稠密载荷压成 52 个非零项，恢复度 0.908 与标准 PCA 的 0.918 基本持平，但每个因子只落在 1 个板块里。附完整 numpy 实现与四张真实计算图。

传统相关系数只能给一个全局数，看不出『哪段时期、哪个周期』在共振。本文用 numpy 从零实现 à trous MODWT(db4 核) 与交叉小波相干性(Wavelet Coherence)，在两只合成板块（危机内相关 0.97、危机外 0.22）上把共振定位到「时-频」平面：危机窗口整条尺度亮起、相干性均值 0.50 vs 非危机 0.09。附完整 numpy 实现与四张真实计算图。