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经典期权定价把模型参数当精确已知，可波动率 σ 是噪声最大的量，点估计把参数不确定性『藏』掉了。贝叶斯 MCMC 把 σ 当作随机变量，从观测收益里抽后验，再对后验做预测定价——天然给出公允价的可信区间。本文以无解析解的亚式看涨期权为例，用 numpy+scipy 从零实现随机游动 Metropolis，在 GBM 合成数据上把 σ 真值 0.20 用后验均值 0.201 无偏还原，并展示贝叶斯定价 2.88 与点估计 1.10 的分歧来自参数的可观测不确定性。附完整 Python 与四张真实计算图。

Black-Scholes 假设价格连续，可股灾里价格是『跳』下去的。Merton 跳扩散有闭式解，但真实市场要联合校准 σ 与跳参数，解析解很快失效。本文用 numpy 从零实现一个两层 MLP，喂 (σ, λ, μ_J, δ, moneyness, T) 六个特征，去逼近 Merton 欧式看涨价格——在 10584 个参数组合上训练，测试集 R²=0.94、RMSE=2.08，并证明网络『学会』了跳跃溢价：期权价随跳跃强度 λ 单调上升。附完整 Python（含手写前向/反向）与四张真实计算图。

Black-Scholes 假设价格连续游走，可股灾里价格是「跳」下去的。本文 numpy 从零实现 Merton(1976) 跳跃扩散闭式期权定价(对跳数次 n 求 BS 无穷级数)，12 万路径 Monte Carlo 校验误差仅 0.019；ATM 期权价 15.38 vs 无跳 BS 9.41(跳变溢价 +63%)，并把价格拆开：连续扩散占 10.6%、跳变占 89.4%。附完整 Python 与四张真实计算图。

期权波动率曲面总是稀疏的——只有主力合约 (m,T) 网格上能拿到报价,中间区域要么没数据要么带 bid-ask 噪声。传统线性插值在网格点之间留肉眼可见的折线,最近邻插值在网格上是台阶。本文 numpy 从零实现 2 维 RBF 核高斯过程 (GP) 回归,在含偏度/微笑/期限结构的合成曲面上用 35 个 (m,T) 观测点 (含 3% 乘性噪声) 拟合超参数 (L-BFGS-B 最大化 log 边缘似然),得到 ell_m=1.34, ell_T=1.10, logMLL=98.21。300 个独立测试点上的 RMSE: GP=0.0055 vs 线性=0.0064 vs 最近邻=0.0147;T=0.5 年切片的 RMSE: GP=0.0023 vs 线性=0.0031。GP 还免费给出后验标准差,告诉你哪里可信、哪里别信。附完整 Python 与四张真实计算图。

股权是公司对资产的看涨期权——这是 Merton 1974 结构化信用模型的核心洞见。既然期权价格（股价）和波动率都可观测，就能反推出不可观测的公司资产价值与资产波动率，进而算出「资产离违约边界还有几个标准差」（违约距离 DD），再把 DD 变成违约概率 PD = N(−DD)。本文从 BS 方程出发完整实现迭代求解器，用三家合成公司（健康/中等/困境）演示 DD 如何随杠杆与波动变化，并用 200 条蒙特卡洛路径校验 PD，附完整 Python。

蒙特卡洛天生只会正向模拟路径，可美式期权要在每个时点回头判断『现在行权还是继续持有』——这是个逆向决策，蒙特卡洛本来做不到。Longstaff-Schwartz 2001 用一招破局：在每个可行权时点，对实值路径做一次横截面回归，用现价预测『继续持有的期望价值』，再和立即行权比大小。固定种子 20260801 受控模拟：ATM 美式看跌 LSM 定价 7.965，收敛到二叉树基准 7.974，而对应欧式只值 7.459——那 0.515 的差价就是『随时能行权』这个权利的真金白银。四项对抗式检验全过：LSM 随 10 万路径稳稳收敛到二叉树、2-3 阶多项式就够；样本内定价 7.974 系统性偏高、换新路径用固定系数才得无偏 7.944（LSM 天然向上偏的根源）；无红利美式看涨 LSM 12.338 精确等于欧式 12.336（证明算法不会凭空造出虚假早行权价值）；早行权边界随到期临近单调上升逼近行权价。核心教训：能定价高维美式/百慕大期权的实用算法，靠的不是更复杂的数学，而是一个『回归代替递归』的工程巧思。

Black-Scholes 假设价格连续、收益正态，但真实市场会跳——一夜暴跌 10% 不是连续路径能画出来的。Merton 1976 在扩散上叠一个泊松跳跃过程，用解析级数解同时解释了肥尾、左偏和波动率微笑。固定种子 20260801 受控模拟：同样 20% 年化波动，跳跃扩散把日收益峰度从 0 拉到 140、偏度压到 -6.24，尾部整整长出一截。跳跃扩散的期权价格反解出真实市场那条『微笑曲线』——虚值看跌区隐含波动 28% 高于 ATM 的 26%，而纯 BS 是一条平线。四项对抗式检验全过：20 万路径蒙特卡洛收敛到解析解 11.74（互验无 bug）、关掉跳跃（λ→0）Merton 完美退化为 BS 基准 9.41、跳跃越密左尾保险越贵、泊松级数几项即收敛。核心教训：BS 少算的那 2.3 块钱期权费，正是市场为『崩盘可能性』收的保险费。

2014 年 Gatheral-Jaisson-Rosenbaum 的《Volatility is Rough》用一个惊人简单的标度回归推翻了三十年的建模共识：对数波动率的增量满足单参数标度律 ζ(q)=qH，而全球市场估出的 H 普遍在 0.05-0.15——波动率路径比布朗运动粗糙得多，既不是经典 SV 模型假设的 H=0.5，更不是长记忆文献猜想的 H>0.5。本文用 Python 从零实现分数布朗运动模拟、复现标度回归并从模拟数据中精确恢复 H，解释粗糙波动率为何一击命中经典模型三十年解释不了的短端 ATM skew 幂律爆炸，并实现 Nuzman-Poor 分数核预测器与 AR/HAR 基准对比。最后厘清最容易误解的一点：H 小意味着反持久而非长记忆，粗糙性与波动率聚类是两个不同尺度的现象（高阶）。